５９多项式系数非负的一个问题的证明

时间:2011-09-20 文章来源:投稿人气: 次

　　第18卷第4期沧州师范专科学校学报．401．182002年12月．2002一一一—一多项式系数非负的一个问题的证明刘宝炜：刘世森2(1．沧州师范专科学校，河北沧州，061001；2．姚官屯中学．河北，沧县，061022)摘要：利用数学归纳法证明和恒等变形技巧证明一个关于多项式系数的命题。关键词：多项式系数；非负；数学归纳法中图分类号：0174文献标识码：文章编号：1008—4762(2002)04—0059—01《数学通讯》1993年第四期有如下问题：数列，2，定义：1=1，2=．+：+1+。证明或否定：对每一个偶数12≥2，多188元素版项式。+。一。2的系数均非负。(例如：，。一；2=8+86十364+45)《数学通讯》1997年第五期给出了利用组合数知识的鹪答，本文利用数学归纳法证明之。
　　首先证明在原问题的条件下，下面的引理成立：引理：数列，：，定义为：1-1，：：，,2=。+。，则多项式。一：。(是自然数)的系数均非负。证明：(1)当=1时，由于。+1．3：2+。=2十1，所以2¨一2。：～2=2+1)一：1，多项式2+—：。=3的系数非负。2)假设当=时结论正确，即：。一。的系数非游戏装备负，则当：+1时，2。．1～2。：2．3一2+2=[22+《2+1)2．1一(2+22。)：22+2+(2+1)2．1-2。+一22。：222+22+1—22=22．2斗22。
　　—2)依据数列的定义．显然数列的任一项的多项式的系数均菲负，所以2。：的系数非负，又依假设当12=时：。一：。的系数非负，所以多项式2。+2《：。+，一：)的系数非负，即当12=+1时命题成立。
　　总上所述多项式：。一：。
　　(是自然数)的系数均非负。引理成立。下面用数学归纳法证明原问题的结论成立。证明：(1)当1=2时．多项式,-，。一。2=：3一：2=(。+：)一2=1，系数非负，结论成立。(2)假设当=2时结论成立．即多顼式2-。，：。
　　2的系数非负，则当=2(+1)时：。．1一。=2“2+一2+22+收稿日期：2002—06—12作者简介：刘宝炜．沧州师范专科学校数学系教师。=2．1[2+(2+1)2一2。
　　：2．2(2—2)+(2+1)22=2．2(一22)+22．12+2¨2=2．12—2(：。2一2．二2)：2本游戏地图真垃圾+1一22(2+1+22)一2：2+1一22+(2—2，1)+22=2“一2(：+1一(2一1)2一1+222)：2+1一2(22-22㈠+2一1)=2+：一4“(2一2+2．1一22+2。
　　=2(2¨一2)+4(2．12¨～2。)=2¨。
　　一(2一1)语聊2．1—22．1+4。(2Ⅵ-—22)：2十《2—2．。)+42(22¨一22)=22一2．1|21+4。22¨一422。二22+(4一1)22-一(4一1)22一2：2。(2。+—2)+(42—1)(2．12-1～22)由于数列的各项系数均非负，依引理。：一：。的系数非负．所以：、(。
　　一：。)系数非负：又当=2时命题成立，即。，。，一：。
　　2的系数非负，且42—1)，所以多项式：。
　　(。一：。)+(42～1)《--相关文章推荐：力反馈游戏杆在虚拟现实中的应用，。
　　。
　　一，。2)的系数菲负，也就是多项式：。一：。2的系数非负，即当：2(十1)时结论成立。总上所述，对每一个偶数≥2，多项式。一。
　　2的系数均非负，结论成立。参考文献：1问题征解。数学通讯，1993，4)．2—，．，1766．，18(1992，20619(1993)，182—184．责任编辑：尤书才·59·多项式系数非负的一个问题的证明作者：刘宝炜，刘世森作者单位：刘宝炜(沧州师范专科学校,河北,沧州,061001)，刘世森(姚官屯中学,河北,沧县,061022)刊名：沧州师范专科学校学报英文刊名：'年，卷(游戏PK期)：2002,18(4)参考文献(2条)1.-;,.1766',19932.问题征解1993(04)。

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